Texto matemático de Shaduppum

Texto matemático de Shaduppum


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Uma impressão 3D da história antiga: um dos textos matemáticos mais famosos da Mesopotâmia

Mesmo sendo muito pequeno, o tablet de YBC 7289 contém um dos mais famosos textos matemáticos da antiga Mesopotâmia, uma civilização que floresceu entre o quarto milênio AC e o início do primeiro milênio DC, onde hoje é a República do Iraque. O tablet original está alojado na Yale Babylonian Collection na Yale University em New Haven, Connecticut, EUA. Provavelmente vem do sul do Iraque, mas sua procedência exata é desconhecida. Pode ser datado do século 19 ou 18 AEC. O tablet foi escaneado e digitalizado (Figura 1) no Instituto de Preservação do Patrimônio Cultural de Yale.

Figura 1: imagem do original YBC 7289 Tablet babilônico sendo digitalizado em uma cúpula de Imagem de Transformação de Refletância (RTI)

A tabuinha tem um formato redondo típico de textos escritos por estudantes babilônios que aprenderam a escrever e calcular em cuneiforme, a escrita usada por escribas e estudiosos da Mesopotâmia. As tábuas assim formadas eram conhecidas na Babilônia como imšukkum, ou seja, "tablet de mão", porque eles se encaixam confortavelmente na palma da mão do aluno.

A tabuinha mostra um quadrado com as duas diagonais desenhadas (Figura 2). Um sinal de número no canto superior esquerdo indica que os lados do quadrado têm 30 unidades de comprimento cada. Ao longo da diagonal, encontramos os algarismos 1,24,51,10 e 42,25,35, ambos escritos, de acordo com as convenções do sistema sexagesimal da Babilônia, na base 60. O segundo desses números indica o comprimento do diagonal, pode ser lido como 42 × 1 + 25 × 1/60 + 35 × 1/3600 ou 42,426389. O primeiro número, convertido em decimal, dá 1,414212963, que é muito próximo de √2, ou seja, 1,414213562. Aparentemente, o aluno, para descobrir o comprimento da diagonal de um quadrado cujos lados tinham 30 unidades de comprimento cada, calculou 30 × [124,51,10], o que dá 4225,35.

Figura 2: Desenho explicativo de YCB 7289

A tabuinha prova que os babilônios do início do segundo milênio AEC sabiam que a proporção do lado para a diagonal em um quadrado é de 1 para a raiz quadrada de 2. Eles haviam chegado a esse insight muito antes do filósofo grego Pitágoras, que provavelmente viveu em o sexto século AC, estabeleceu seu famoso teorema uma 2 + b 2 = c 2, que está por trás de sua solução. A tabuinha demonstra, além disso, que os matemáticos da era da Antiga Babilônia haviam encontrado uma aproximação notavelmente boa para √2: 124,51,10. O aluno que escreveu a tabuinha parece ter obtido esse número de uma lista de coeficientes (uma dessas listas também está na Coleção Babilônica de Yale).

o literatos da antiga Mesopotâmia se destacou em muitas disciplinas acadêmicas, incluindo medicina e lexicografia. Mas seu conhecimento matemático era particularmente sofisticado e avançado, e antecedeu em muitos séculos realizações comparáveis ​​entre os gregos.

A impressão 3D foi produzida a partir de dados obtidos em Yale IPCH dentro do Projeto de imagem digital da coleção Yale Babylonian, com base no objeto 45.000 de 107 anos Coleção Yale Babylonian como uma das coleções mais importantes de tabuinhas mesopotâmicas e outros artefatos do hemisfério ocidental. Os principais objetivos do projeto eram produzir material de alta qualidade para adoção em pesquisa e educação acadêmica, bem como formular e aperfeiçoar técnicas de aquisição e gerenciamento de dados.

Os métodos de digitalização adotados neste projeto incluíram imagem por transformação de refletância (RTI), digitalização a laser 3D, imagem multiespectral (MSI) e fotografia de alta resolução. Os produtos finais dessas aquisições digitais incluem visualizações interativas, modelos 3D e imagens de alta qualidade.

Esperamos que este projeto colaborativo sirva para aumentar o acesso, unir os metadados existentes com as novas visualizações e promover a expansão das metodologias de pesquisa em projetos de digitalização cuneiforme em Yale e além.


Texto matemático de Shaduppum - História

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    Descrição geral. Exploraremos alguns dos principais temas da matemática - cálculo, número, geometria, álgebra, infinito, formalismo - e seu desenvolvimento histórico em várias civilizações, desde a antiguidade da Babilônia e do Egito até a Grécia clássica, o Oriente Médio e o Extremo Oriente e para a Europa moderna. Veremos como as civilizações anteriores influenciaram ou falharam em influenciar as posteriores e como os conceitos evoluíram nessas várias civilizações.

As primeiras civilizações deixaram apenas evidências arqueológicas e históricas limitadas que requerem interpretação substancial. Temos muitos tratados matemáticos das civilizações posteriores, mas geralmente estão em uma forma completa, o que deixa de fora o desenvolvimento dos conceitos e os propósitos para os quais a matemática foi desenvolvida. Assim, teremos que analisar os argumentos dados pelos historiadores da matemática para sua objetividade e completude.

    Explora os principais temas e cálculo mdash, número, geometria, álgebra, infinito e mdasand seu desenvolvimento histórico em civilizações que vão desde a antiguidade da Babilônia e Egito até a Grécia clássica, o Oriente Médio e Extremo Oriente e, em seguida, a Europa moderna. Analisa a tensão entre as aplicações da matemática e a tendência para o formalismo. Enfatiza apresentações e discussões. Cumpre a Perspectiva Histórica.
  • Objetivos de conteúdo:
    • acompanhar o desenvolvimento da matemática desde os primeiros sistemas numéricos até a invenção do cálculo
    • leia e compreenda alguma matemática histórica
    • pesquisar o desenvolvimento e uso de métodos de computação, alguns dos quais envolvem ferramentas como o ábaco
    • estudar a matemática de várias civilizações diferentes, sua concepção e uso da matemática e como as condições históricas dessas civilizações afetaram e foram afetadas pela matemática
    • desenvolva sua capacidade de compreender o mundo contemporâneo no quadro mais amplo de tradição e história
    • focar nos problemas de interpretação do passado e também pode lidar com a relação entre passado e presente
    • apresentar aos alunos como os estudiosos pensam criticamente sobre o passado, o presente e o futuro
    • Desenvolva sua capacidade de apresentar matemática e história em formas faladas e escritas
    • Ajudá-lo a praticar suas habilidades de pesquisa
    • Satisfaça, em parte, sua curiosidade sobre como a matemática se desenvolveu e como ela se encaixa na cultura
      Ao terminar este curso, você deverá ser capaz de:
  • descrever o desenvolvimento de várias áreas da matemática dentro e entre várias civilizações
  • descrever o caráter mutante da matemática ao longo do tempo e reconhecer a distinção entre matemática formal e intuitiva
  • dar exemplos de aplicações significativas da matemática ao comércio, ciência e vida em geral, passada e presente
  • entender que a história inclui a interpretação do passado, não apenas fatos
  • melhor pesquisar questões históricas e apresentar suas conclusões a outros
  • Os capítulos referem-se ao nosso livro didático.

    • Capítulo 1: Egito e Mesopotâmia
      • Egito: sistema numérico, multiplicação e divisão, frações unitárias, o egípcio 2 /n tabela, equações lineares e o método da posição falsa, geometria.
      • Mesopotâmia: sistema sexagesimal (base 60) e notação cuneiforme, aritmética, tabuada babilônica, tabuada recíproca babilônica, geometria elementar, teorema de Pitágoras, tabuinha de Plimpton 322, raízes quadradas, equações quadráticas, símbolos da Mesopotâmia pré-alfabetizada.
      • A mais antiga matemática grega: vários numerais gregos, Tales, Pitágoras e os pitagóricos, problemas de construção difíceis
      • Platão e Aristóteles: lógica, magnitudes, paradoxos de Zenão
      • A lei da alavanca, aproximação de pi, somas de série
      • Astronomia antes de Ptolomeu, Cosmologia e Astronomia
      • Trigonometria precoce, história da trigonometria
      • Ptolomeu e o Almagest
      • Matemática prática, Heron, Ptolomeu Geografia
      • Diofanto e álgebra grega, Pappus e análise
        Veja também Outline of Mathematics in China
    • Símbolos numéricos, numerais de barras, frações
    • Geometria: áreas e volumes, o teorema de Pitágoras, triângulos semelhantes
    • Álgebra: equações lineares simultâneas, triângulo aritmético, resolução de equações polinomiais.
    • Análise indeterminada e o teorema do resto chinês encontrando um
      • Veja também Outline of Mathematics in India
      • O sistema de valor de posição hindu-árabe e aritmética
      • Geometria
      • Equações e análises indeterminadas
      • Combinatoria
      • Trigonometria, tabela trigonométrica de Aryabhata
      • Aritmética decimal
      • Álgebra: equações quadráticas, poderes do desconhecido, triângulo aritmético, equações cúbicas
      • Combinatoria
      • Geometria: postulado paralelo, trigonometria
      • Traduções do árabe para o latim nos séculos 12 e 13
      • Resumo da matemática inicial na Europa Ocidental
      • Combinatoria
      • A matemática da cinemática: velocidade, o teorema de Merton, o teorema fundamental do cálculo de Oresme
      • Matemática na virada do século XIV
      • Matemática na América, África e Pacífico
      • Os abacistas italianos, álgebra na França, Alemanha, Inglaterra e Portugal
      • A solução da equação cúbica
      • Desenvolvimento inicial da álgebra simbólica: Vi & eacutete e Stevin
      • Perspectiva, geografia e navegação, astronomia e trigonometria, logaritmos, cinemática
      • A teoria das equações
      • Geometria analítica: coordenadas, equações de curvas
      • Probabilidade elementar
      • Teoria dos Números
      • Geometria projetiva
      • Tangentes e extremos, áreas e volumes, séries de potências, retificação de curvas e o teorema fundamental do cálculo
      • Isaac Newton, Gottfried Leibniz e os primeiros textos de cálculo

      Anotações de aula, questionários, testes, trabalhos de casa

        Quarta-feira, 18 de janeiro de 2017.
        Bem-vindo à aula! Visão geral do curso
        Números egípcios e aritmética. Algoritmos de multiplicação e divisão.
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      Análise

      "Este livro fascinante apresenta 121 tabuletas matemáticas inéditas de argila da Coleção Schøyen norueguesa ... O livro é dividido em 12 capítulos, 10 apêndices, um vocabulário para textos de MS, um índice de assuntos ... e uma grande lista de referências. ... Muitas fotos, desenhos e fotos coloridas dos tablets mais interessantes também estão incluídos. ... abre a matemática da Babilônia para uma nova geração de matemáticos, historiadores da ciência e da matemática, professores e alunos. Portanto, pode ser recomendado para um grande público. " (Boletim da European Mathematical Society, junho de 2008)

      "Congratulamo-nos com o livro em análise, um estudo da coleção Martin Schøyen ... esta coleção inclui exemplares de virtualmente todos os tipos conhecidos de tabletes matemáticos, bem como alguns tipos de tabletes que nunca foram publicados. ... O livro de Friberg será inestimável para qualquer um estudando matemática mesopotâmica, já que fornece muitos outros exemplos de idéias matemáticas que foram usadas pelos escribas. ... Qualquer boa biblioteca na história da matemática deve possuir cópias ... ". (Victor J. Katz, Mathematical Reviews, Issue 2008 h)

      Da contracapa

      Este novo texto de Jöran Friberg, o maior especialista em matemática babilônica, apresenta 130 tabuletas de argila matemáticas inéditas da coleção Schøyen norueguesa e fornece uma síntese do trabalho mais importante do autor. Por meio de um estudo minucioso dessas tabuinhas, Friberg fez inúmeras descobertas incríveis, incluindo os primeiros exemplos conhecidos de labirintos e labirintos pré-clássicos, uma nova compreensão do famoso texto de mesa Plimpton 322 e novas evidências da familiaridade babilônica com ideias matemáticas sofisticadas e objetos, como a equação tridimensional de Pitágoras e o icosaedro.

      Para tornar o texto acessível ao maior público possível, o autor incluiu um capítulo introdutório intitulado "Como obter uma melhor compreensão de textos matemáticos cuneiformes". Ao longo do texto, ele evita anacronismos e se esforça para ensinar o leitor a fazer o mesmo. A abordagem neste livro é inerentemente pedagógica, pois Friberg ilustra todas as etapas do processo de interpretação e explica claramente as idéias matemáticas, incluindo terminologia, sistemas metrológicos e métodos de cálculo. Desenhos e fotos coloridas de uma grande seleção de tablets também estão incluídos. Cópias à mão particularmente bonitas dos textos mais complicados foram feitas por Farouk Al-Rawi, professor de Línguas Antigas e Arqueologia na Universidade de Bagdá.

      Embora o livro seja de fácil leitura, ele permanece o mais detalhado e exaustivo possível. É o tratamento mais abrangente de um conjunto de textos matemáticos da Babilônia já publicado e abrirá este assunto para uma nova geração de estudantes, matemáticos e historiadores da ciência.

      Jöran Friberg é Professor Emérito de Matemática na Chalmers University of Technology, Suécia. Ele publicou recentemente o livro Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005), e sua sequência Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007).


      Uma história de notações matemáticas

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      Uma coleção notável de textos matemáticos da Babilônia

      Autores: Friberg, Jöran

      • O autor é uma das principais autoridades em matemática babilônica
      • Inclui análise de comprimidos que nunca foram estudados antes
      • Fornece uma nova visão sobre a compreensão da Babilônia de objetos matemáticos sofisticados
      • Mais de 300 figuras, muitas em cores

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      • ISBN 978-0-387-48977-3
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      Este novo texto de Jöran Friberg, o maior especialista em matemática babilônica, apresenta 130 tabuletas de argila matemáticas inéditas da coleção Schøyen norueguesa e fornece uma síntese do trabalho mais importante do autor. Por meio de um estudo minucioso dessas tabuinhas, Friberg fez inúmeras descobertas incríveis, incluindo os primeiros exemplos conhecidos de labirintos e labirintos pré-clássicos, uma nova compreensão do famoso texto de mesa Plimpton 322 e novas evidências da familiaridade babilônica com ideias matemáticas sofisticadas e objetos, como a equação tridimensional de Pitágoras e o icosaedro.

      Para tornar o texto acessível ao maior público possível, o autor incluiu um capítulo introdutório intitulado "Como obter uma melhor compreensão de textos matemáticos cuneiformes". Ao longo do texto, ele evita anacronismos e se esforça para ensinar o leitor a fazer o mesmo. A abordagem neste livro é inerentemente pedagógica, pois Friberg ilustra todas as etapas do processo de interpretação e explica claramente as idéias matemáticas, incluindo terminologia, sistemas metrológicos e métodos de cálculo. Desenhos e fotos coloridas de uma grande seleção de tablets também estão incluídos. Cópias à mão particularmente bonitas dos textos mais complicados foram feitas por Farouk Al-Rawi, professor de Línguas Antigas e Arqueologia na Universidade de Bagdá.

      Embora o livro seja de fácil leitura, ele permanece o mais detalhado e exaustivo possível. É o tratamento mais abrangente de um conjunto de textos matemáticos da Babilônia já publicado e abrirá este assunto para uma nova geração de estudantes, matemáticos e historiadores da ciência.

      Jöran Friberg é Professor Emérito de Matemática na Chalmers University of Technology, Suécia. Ele publicou recentemente o livro Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics (World Scientific 2005), e sua sequência Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics (World Scientific 2007).

      "Este livro fascinante apresenta 121 tabuletas matemáticas inéditas de argila da Coleção Schøyen norueguesa ... O livro é dividido em 12 capítulos, 10 apêndices, um vocabulário para textos de MS, um índice de assuntos ... e uma grande lista de referências. ... Muitas fotos, desenhos e fotos coloridas dos tablets mais interessantes também estão incluídos. ... abre a matemática da Babilônia para uma nova geração de matemáticos, historiadores da ciência e da matemática, professores e alunos. Portanto, pode ser recomendado para um grande público. " (European Mathematical Society Newsletter, junho de 2008)

      "Congratulamo-nos com o livro em análise, um estudo da coleção Martin Schøyen ... esta coleção inclui exemplares de virtualmente todos os tipos conhecidos de tabletes matemáticos, bem como alguns tipos de tabletes que nunca foram publicados. ... O livro de Friberg será inestimável para qualquer um estudando matemática mesopotâmica, já que fornece muitos outros exemplos de idéias matemáticas que foram usadas pelos escribas. ... Qualquer boa biblioteca na história da matemática deve possuir cópias ... ". (Victor J. Katz, Mathematical Reviews, Issue 2008 h)


      Uma visão geral da matemática indiana

      Não há dúvida de que a matemática hoje tem uma grande dívida para com as contribuições notáveis ​​feitas pelos matemáticos indianos ao longo de muitas centenas de anos. O que é bastante surpreendente é que tem havido uma relutância em reconhecer isso e é preciso concluir que muitos historiadores famosos da matemática encontraram o que esperavam encontrar, ou talvez até o que esperavam encontrar, em vez de perceber o que estava tão claro em na frente deles.

      Examinaremos as contribuições da matemática indiana neste artigo, mas antes de examinar essa contribuição com mais detalhes, devemos dizer claramente que a "enorme dívida" é o belo sistema numérico inventado pelos indianos, no qual grande parte do desenvolvimento matemático se baseou. Laplace colocou isso com grande clareza: -

      Veremos brevemente o desenvolvimento indiano do sistema decimal de valores posicionais posteriormente neste artigo e com mais detalhes no artigo separado Números indianos. Antes, porém, voltamos às primeiras evidências do desenvolvimento da matemática na Índia.

      As histórias da matemática indiana costumavam começar descrevendo a geometria contida nos Sulbasutras, mas a pesquisa na história da matemática indiana mostrou que os fundamentos dessa geometria eram mais antigos, estando contidos nas construções de altar descritas no texto da mitologia védica. Shatapatha Brahmana e a Taittiriya Samhita. Também foi demonstrado que o estudo da astronomia matemática na Índia remonta pelo menos ao terceiro milênio AC e a matemática e a geometria devem ter existido para apoiar este estudo nestes tempos antigos.

      A primeira matemática que descreveremos neste artigo desenvolveu-se no vale do Indo. A cultura indígena urbana mais antiga conhecida foi identificada pela primeira vez em 1921 em Harappa, no Punjab e, um ano depois, em Mohenjo-daro, perto do rio Indo, no Sindh. Ambos os sites estão agora no Paquistão, mas isso ainda é coberto pelo nosso termo "matemática indiana" que, neste artigo, se refere à matemática desenvolvida no subcontinente indiano. A civilização Indus (ou civilização Harappan, como às vezes é conhecida) foi baseada nessas duas cidades e também em mais de uma centena de pequenas cidades e vilas. Foi uma civilização que começou por volta de 2500 aC e sobreviveu até 1700 aC ou mais tarde. As pessoas eram alfabetizadas e usavam uma escrita contendo cerca de 500 caracteres que alguns alegaram ter decifrado, mas, estando longe de estar claro que este é o caso, ainda há muita pesquisa a ser feita antes de uma apreciação completa das conquistas matemáticas desta antiga civilização pode ser totalmente avaliada.

      Muitas vezes pensamos nos egípcios e babilônios como o auge da civilização e das habilidades matemáticas em torno do período da civilização do Indo, embora o V G Childe em Nova luz no oriente mais antigo (1952) escreveu: -

      Sabemos que os harappans adotaram um sistema uniforme de pesos e medidas. Uma análise dos pesos descobertos sugere que eles pertencem a duas séries, ambas sendo de natureza decimal, com cada número decimal multiplicado e dividido por dois, dando as razões de 0 para as séries principais. 05, 0. 1, 0. 2, 0. 5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500. Várias escalas para a medição do comprimento também foram descobertas durante as escavações. Um era uma escala decimal baseada em uma unidade de medida de 1. 32 polegadas (3,35 centímetros), que tem sido chamado de "polegada Indus". Claro que dez unidades são 13. 2 polegadas, o que é bastante verossímil como a medida de um "pé". Uma medida semelhante baseada no comprimento de um pé está presente em outras partes da Ásia e além. Outra escala foi descoberta quando uma barra de bronze foi encontrada, marcada com 0. 367 polegadas. Certamente é surpreendente a precisão com que essas escalas são marcadas. Agora, 100 unidades dessa medida são 36. 7 polegadas, que é a medida de uma passada. As medições das ruínas dos edifícios que foram escavados mostram que essas unidades de comprimento foram usadas com precisão pelos harappans na construção.

      Não está claro exatamente o que causou o declínio da civilização Harappan. Os historiadores sugeriram quatro causas possíveis: uma mudança nos padrões climáticos e uma conseqüente crise agrícola um desastre climático, como enchentes ou secas severas, disseminadas por epidemia ou invasão de povos indo-arianos do norte. A teoria favorita costumava ser a última das quatro, mas opiniões recentes favorecem uma das três primeiras. O que certamente é verdade é que eventualmente os povos indo-arianos do norte se espalharam pela região. Isso nos leva ao mais antigo registro literário da cultura indiana, os Vedas, que foram compostos em sânscrito védico, entre 1500 aC e 800 aC. No início, esses textos, consistindo de hinos, feitiços e observações rituais, eram transmitidos oralmente. Mais tarde, os textos tornaram-se obras escritas para uso dos praticantes da religião védica.

      A próxima matemática importante no subcontinente indiano foi associada a esses textos religiosos. Consistia nos Sulbasutras que eram apêndices dos Vedas que fornecem regras para a construção de altares. Eles continham uma grande quantidade de conhecimento geométrico, mas a matemática estava sendo desenvolvida, não por si mesma, mas puramente para fins religiosos práticos. A matemática contida nesses textos é estudada com algum detalhe no artigo separado sobre as Sulbasutras.

      Os principais Sulbasutras eram compostos por Baudhayana (cerca de 800 AC), Manava (cerca de 750 AC), Apastamba (cerca de 600 AC) e Katyayana (cerca de 200 AC). Esses homens eram padres e eruditos, mas não eram matemáticos no sentido moderno. Embora não tenhamos informações sobre esses homens além dos textos que escreveram, nós os incluímos em nossas biografias de matemáticos. Há outro estudioso, que novamente não era um matemático no sentido usual, que viveu em torno desse período. Foi Panini quem alcançou resultados notáveis ​​em seus estudos da gramática sânscrita. Agora, alguém pode perguntar razoavelmente o que a gramática sânscrita tem a ver com matemática. Certamente tem algo a ver com a moderna ciência da computação teórica, pois um matemático ou cientista da computação que trabalha com a teoria da linguagem formal reconhecerá o quão modernas algumas das idéias de Panini são.

      Antes do final do período dos Sulbasutras, por volta de meados do século III aC, os numerais brahmi começaram a aparecer.


      Aqui está um estilo dos numerais Brahmi:


      Estes são os primeiros numerais que, após uma infinidade de mudanças, eventualmente se desenvolveram nos numerais 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 usados ​​hoje. O desenvolvimento de numerais e sistemas numéricos com valor de posição são estudados no artigo Numerais indianos.

      A religião védica com seus ritos de sacrifício começou a diminuir e outras religiões começaram a substituí-la. Um deles foi o Jainismo, uma religião e filosofia que foi fundada na Índia por volta do século 6 aC. Embora o período após o declínio da religião védica até a época de Aryabhata I por volta de 500 DC tenha sido considerado um período negro na matemática indiana, recentemente foi reconhecido como um tempo em que muitas idéias matemáticas foram consideradas. Na verdade, Aryabhata agora é considerado um resumo dos desenvolvimentos matemáticos do Jaina, bem como o início da próxima fase.

      Os principais tópicos da matemática Jaina por volta de 150 aC eram: a teoria dos números, operações aritméticas, geometria, operações com frações, equações simples, equações cúbicas, equações quárticas e permutações e combinações. Mais surpreendentemente, o Jaina desenvolveu uma teoria do infinito contendo diferentes níveis de infinito, uma compreensão primitiva de índices e alguma noção de logaritmos para a base 2. Um dos problemas difíceis que os historiadores da matemática enfrentam é decidir a data do manuscrito Bakhshali. Se este for um trabalho que realmente data de 400 DC, ou pelo menos uma cópia de um trabalho que foi originalmente escrito nesta época, então nossa compreensão das conquistas da matemática Jaina será grandemente aprimorada. Embora haja tanta incerteza quanto à data, um tópico amplamente discutido em nosso artigo sobre o manuscrito Bakhshali, devemos evitar reescrever a história do período Jaina à luz da matemática contida neste documento notável.

      Você pode ver um artigo separado sobre Matemática jainista em ESTE LINK.

      Se a religião védica deu origem ao estudo da matemática para a construção de altares sacrificiais, então foi a cosmologia jainista que levou às idéias do infinito na matemática jainista. Os avanços matemáticos posteriores muitas vezes foram impulsionados pelo estudo da astronomia. Bem, talvez fosse mais correto dizer que a astrologia formou a força motriz, uma vez que era essa "ciência" que exigia informações precisas sobre os planetas e outros corpos celestes e, assim, encorajava o desenvolvimento da matemática. A religião também desempenhou um papel importante nas investigações astronômicas na Índia, pois calendários precisos tinham de ser preparados para permitir que as observâncias religiosas ocorressem nos momentos corretos. A matemática, então, ainda era uma ciência aplicada na Índia por muitos séculos, com matemáticos desenvolvendo métodos para resolver problemas práticos.

      Yavanesvara, no segundo século DC, desempenhou um papel importante na popularização da astrologia quando traduziu um texto grego de astrologia datado de 120 AC. Se ele tivesse feito uma tradução literal, é duvidoso que teria interesse para mais do que algumas pessoas de mentalidade acadêmica. Ele popularizou o texto, no entanto, redefinindo todo o trabalho na cultura indiana usando imagens hindus com o sistema de castas indiano integrado em seu texto.

      Por volta de 500 DC, a era clássica da matemática indiana começou com o trabalho de Aryabhata. Seu trabalho foi um resumo da matemática jainista e o início de uma nova era para a astronomia e a matemática. Suas idéias de astronomia eram verdadeiramente notáveis. Ele substituiu os dois demônios Rahu, o Dhruva Rahu que causa as fases da Lua e o Parva Rahu que causa um eclipse ao cobrir a Lua ou o Sol ou sua luz, por uma teoria moderna dos eclipses. Ele introduziu a trigonometria para fazer seus cálculos astronômicos, com base na teoria do epiciclo grego, e resolveu com soluções inteiras equações indeterminadas surgidas nas teorias astronômicas.

      Aryabhata chefiou um centro de pesquisa para matemática e astronomia em Kusumapura, no nordeste do subcontinente indiano. Lá uma escola estudando suas idéias cresceu lá, mas mais do que isso, Aryabhata definiu a agenda para a pesquisa matemática e astronômica na Índia por muitos séculos vindouros. Outro centro matemático e astronômico ficava em Ujjain, também no norte do subcontinente indiano, que cresceu na mesma época que Kusumapura. O mais importante dos matemáticos neste segundo centro foi Varahamihira, que também fez contribuições importantes para a astronomia e trigonometria.

      As principais idéias da matemática jainista, particularmente aquelas relacionadas à sua cosmologia com sua paixão por grandes números finitos e infinitos, continuaram a florescer com estudiosos como Yativrsabha. Ele foi contemporâneo de Varahamihira e de Aryabhata, um pouco mais velho. Devemos também notar que as duas escolas em Kusumapura e Ujjain estiveram envolvidas no desenvolvimento contínuo dos numerais e de sistemas numéricos com valor de posição. A próxima figura de maior importância na escola Ujjain foi Brahmagupta perto do início do século 7 DC e ele faria uma das maiores contribuições para o desenvolvimento dos sistemas de números com suas contribuições notáveis ​​sobre números negativos e zero. É um pensamento preocupante que oitocentos anos mais tarde, a matemática europeia estaria lutando para sobreviver sem o uso de números negativos e de zero.

      Essas certamente não foram as únicas contribuições de Brahmagupta para a matemática. Longe disso, ele fez outras contribuições importantes para a compreensão de soluções inteiras para equações indeterminadas e para fórmulas de interpolação inventadas para auxiliar o cálculo de tabelas de seno.

      A forma como as contribuições desses matemáticos foram solicitadas por um estudo de métodos em astronomia esférica é descrita em [25]: -

      Antes de continuar a descrever os desenvolvimentos durante o período clássico, devemos explicar os mecanismos que permitiram que a matemática florescesse na Índia durante esses séculos. O sistema educacional da Índia naquela época não permitia que pessoas talentosas recebessem treinamento em matemática ou astronomia. Em vez disso, todo o sistema educacional era baseado na família. Várias famílias levaram as tradições da astrologia, astronomia e matemática adiante, educando cada nova geração da família nas habilidades que haviam sido desenvolvidas. Devemos observar também que a astronomia e a matemática se desenvolveram por conta própria, separadas para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento.

      Agora, uma "família matemática" teria uma biblioteca que contivesse os escritos das gerações anteriores. These writings would most likely be commentaries on earlier works such as the Aryabhatiya of Aryabhata. Many of the commentaries would be commentaries on commentaries on commentaries etc. Mathematicians often wrote commentaries on their own work. They would not be aiming to provide texts to be used in educating people outside the family, nor would they be looking for innovative ideas in astronomy. Again religion was the key, for astronomy was considered to be of divine origin and each family would remain faithful to the revelations of the subject as presented by their gods. To seek fundamental changes would be unthinkable for in asking others to accept such changes would be essentially asking them to change religious belief. Nor do these men appear to have made astronomical observations in any systematic way. Some of the texts do claim that the computed data presented in them is in better agreement with observation than that of their predecessors but, despite this, there does not seem to have been a major observational programme set up. Paramesvara in the late fourteenth century appears to be one of the first Indian mathematicians to make systematic observations over many years.

      Mathematics however was in a different position. It was only a tool used for making astronomical calculations. If one could produce innovative mathematical ideas then one could exhibit the truths of astronomy more easily. The mathematics therefore had to lead to the same answers as had been reached before but it was certainly good if it could achieve these more easily or with greater clarity. This meant that despite mathematics only being used as a computational tool for astronomy, the brilliant Indian scholars were encouraged by their culture to put their genius into advances in this topic.

      A contemporary of Brahmagupta who headed the research centre at Ujjain was Bhaskara I who led the Asmaka school. This school would have the study of the works of Aryabhata as their main concern and certainly Bhaskara was commentator on the mathematics of Aryabhata. More than 100 years after Bhaskara lived the astronomer Lalla, another commentator on Aryabhata.

      The ninth century saw mathematical progress with scholars such as Govindasvami, Mahavira, Prthudakasvami, Sankara, and Sridhara. Some of these such as Govindasvami and Sankara were commentators on the text of Bhaskara I while Mahavira was famed for his updating of Brahmagupta's book. This period saw developments in sine tables, solving equations, algebraic notation, quadratics, indeterminate equations, and improvements to the number systems. The agenda was still basically that set by Aryabhata and the topics being developed those in his work.

      The main mathematicians of the tenth century in India were Aryabhata II and Vijayanandi, both adding to the understanding of sine tables and trigonometry to support their astronomical calculations. In the eleventh century Sripati and Brahmadeva were major figures but perhaps the most outstanding of all was Bhaskara II in the twelfth century. He worked on algebra, number systems, and astronomy. He wrote beautiful texts illustrated with mathematical problems, some of which we present in his biography, and he provided the best summary of the mathematics and astronomy of the classical period.

      Bhaskara II may be considered the high point of Indian mathematics but at one time this was all that was known [ 26 ] :-

      Following Bhaskara II there was over 200 years before any other major contributions to mathematics were made on the Indian subcontinent. In fact for a long time it was thought that Bhaskara II represented the end of mathematical developments in the Indian subcontinent until modern times. However in the second half of the fourteenth century Mahendra Suri wrote the first Indian treatise on the astrolabe and Narayana wrote an important commentary on Bhaskara II, making important contributions to algebra and magic squares. The most remarkable contribution from this period, however, was by Madhava who invented Taylor series and rigorous mathematical analysis in some inspired contributions. Madhava was from Kerala and his work there inspired a school of followers such as Nilakantha and Jyesthadeva.

      Some of the remarkable discoveries of the Kerala mathematicians are described in [ 26 ] . These include: a formula for the ecliptic the Newton-Gauss interpolation formula the formula for the sum of an infinite series Lhuilier's formula for the circumradius of a cyclic quadrilateral. Of particular interest is the approximation to the value of π pi π which was the first to be made using a series. Madhava's result which gave a series for π pi π , translated into the language of modern mathematics, reads

      This formula, as well as several others referred to above, were rediscovered by European mathematicians several centuries later. Madhava also gave other formulae for π pi π , one of which leads to the approximation 3 . 14159265359 .

      The first person in modern times to realise that the mathematicians of Kerala had anticipated some of the results of the Europeans on the calculus by nearly 300 years was Charles Whish in 1835 . Whish's publication in the Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland was essentially unnoticed by historians of mathematics. Only 100 years later in the 1940 s did historians of mathematics look in detail at the works of Kerala's mathematicians and find that the remarkable claims made by Whish were essentially true. See for example [ 15 ] . Indeed the Kerala mathematicians had, as Whish wrote:-

      For each case, Citrabhanu gave an explanation and justification of his rule as well as an example. Some of his explanations are algebraic, while others are geometric. See [ 12 ] for more details.

      Now we have presented the latter part of the history of Indian mathematics in an unlikely way. That there would be essentially no progress between the contributions of Bhaskara II and the innovations of Madhava, who was far more innovative than any other Indian mathematician producing a totally new perspective on mathematics, seems unlikely. Much more likely is that we are unaware of the contributions made over this 200 year period which must have provided the foundations on which Madhava built his theories.

      Our understanding of the contributions of Indian mathematicians has changed markedly over the last few decades. Much more work needs to be done to further our understanding of the contributions of mathematicians whose work has sadly been lost, or perhaps even worse, been ignored. Indeed work is now being undertaken and we should soon have a better understanding of this important part of the history of mathematics.


      An overview of Babylonian mathematics

      The Babylonians lived in Mesopotamia, a fertile plain between the Tigris and Euphrates rivers.



      Aqui está um map of the region where the civilisation flourished.


      The region had been the centre of the Sumerian civilisation which flourished before 3500 BC. This was an advanced civilisation building cities and supporting the people with irrigation systems, a legal system, administration, and even a postal service. Writing developed and counting was based on a sexagesimal system, that is to say base 60 . Around 2300 BC the Akkadians invaded the area and for some time the more backward culture of the Akkadians mixed with the more advanced culture of the Sumerians. The Akkadians invented the abacus as a tool for counting and they developed somewhat clumsy methods of arithmetic with addition, subtraction, multiplication and division all playing a part. The Sumerians, however, revolted against Akkadian rule and by 2100 BC they were back in control.

      However the Babylonian civilisation, whose mathematics is the subject of this article, replaced that of the Sumerians from around 2000 BC The Babylonians were a Semitic people who invaded Mesopotamia defeating the Sumerians and by about 1900 BC establishing their capital at Babylon.

      The Sumerians had developed an abstract form of writing based on cuneiform ( i.e. wedge-shaped ) symbols. Their symbols were written on wet clay tablets which were baked in the hot sun and many thousands of these tablets have survived to this day. It was the use of a stylus on a clay medium that led to the use of cuneiform symbols since curved lines could not be drawn. The later Babylonians adopted the same style of cuneiform writing on clay tablets.


      Here is one of their tablets


      Many of the tablets concern topics which, although not containing deep mathematics, nevertheless are fascinating. For example we mentioned above the irrigation systems of the early civilisations in Mesopotamia. These are discussed in [ 40 ] where Muroi writes:-

      It was an important task for the rulers of Mesopotamia to dig canals and to maintain them, because canals were not only necessary for irrigation but also useful for the transport of goods and armies. The rulers or high government officials must have ordered Babylonian mathematicians to calculate the number of workers and days necessary for the building of a canal, and to calculate the total expenses of wages of the workers.

      There are several Old Babylonian mathematical texts in which various quantities concerning the digging of a canal are asked for. They are YBC 4666 , 7164 , and VAT 7528 , all of which are written in Sumerian . and YBC 9874 and BM 85196 , No. 15 , which are written in Akkadian . . From the mathematical point of view these problems are comparatively simple .

      The Babylonians had an advanced number system, in some ways more advanced than our present systems. It was a positional system with a base of 60 rather than the system with base 10 in widespread use today. For more details of the Babylonian numerals, and also a discussion as to the theories why they used base 60 , see our article on Babylonian numerals.

      The Babylonians divided the day into 24 hours, each hour into 60 minutes, each minute into 60 seconds. This form of counting has survived for 4000 years. To write 5 h 25 ' 30 ", i.e. 5 hours, 25 minutes, 30 seconds, is just to write the sexagesimal fraction, 5 25 60 30 3600 5 largefrac<25><60> ormalsize largefrac<30><3600> ormalsize 5 6 0 2 5 ​ 3 6 0 0 3 0 ​ . We adopt the notation 5 25 , 30 for this sexagesimal number, for more details regarding this notation see our article on Babylonian numerals. As a base 10 fraction the sexagesimal number 5 25 , 30 is 5 4 10 2 100 5 1000 5 largefrac<4><10> ormalsize largefrac<2><100> ormalsize largefrac<5><1000> ormalsize 5 1 0 4 ​ 1 0 0 2 ​ 1 0 0 0 5 ​ which is written as 5 . 425 in decimal notation.

      Perhaps the most amazing aspect of the Babylonian's calculating skills was their construction of tables to aid calculation. Two tablets found at Senkerah on the Euphrates in 1854 date from 2000 BC. They give squares of the numbers up to 59 and cubes of the numbers up to 32 . The table gives 8 2 = 1 , 4 8^ <2>= 1,4 8 2 = 1 , 4 which stands for

      The Babylonians used the formula

      which shows that a table of squares is all that is necessary to multiply numbers, simply taking the difference of the two squares that were looked up in the table then taking a quarter of the answer.

      Division is a harder process. The Babylonians did not have an algorithm for long division. Instead they based their method on the fact that

      Babylonian mathematics went far beyond arithmetical calculations. In our article on Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics we examine some of their geometrical ideas and also some basic ideas in number theory. In this article we now examine some algebra which the Babylonians developed, particularly problems which led to equations and their solution.

      We noted above that the Babylonians were famed as constructors of tables. Now these could be used to solve equations. For example they constructed tables for n 3 + n 2 n^ <3>+ n^ <2>n 3 + n 2 then, with the aid of these tables, certain cubic equations could be solved. For example, consider the equation

      It is not that easy to understand these calculations by the scribe unless we translate them into modern algebraic notation. We have to solve

      To solve a quadratic equation the Babylonians essentially used the standard formula. They considered two types of quadratic equation, namely

      Notice that in each case this is the positive root from the two roots of the quadratic and the one which will make sense in solving "real" problems. For example problems which led the Babylonians to equations of this type often concerned the area of a rectangle. For example if the area is given and the amount by which the length exceeds the breadth is given, then the breadth satisfies a quadratic equation and then they would apply the first version of the formula above.

      A problem on a tablet from Old Babylonian times states that the area of a rectangle is 1 , 0 and its length exceeds its breadth by 7 . A equação

      In [ 10 ] Berriman gives 13 typical examples of problems leading to quadratic equations taken from Old Babylonian tablets.

      If problems involving the area of rectangles lead to quadratic equations, then problems involving the volume of rectangular excavation ( a "cellar" ) lead to cubic equations. The clay tablet BM 85200 + containing 36 problems of this type, is the earliest known attempt to set up and solve cubic equations. Hoyrup discusses this fascinating tablet in [ 26 ] . Of course the Babylonians did not reach a general formula for solving cubics. This would not be found for well over three thousand years.


      History of Mathematical Sciences

      This book explores the interaction between Europe and East Asia between the 16th and the 18th centuries in the field of mathematical sciences, bringing to the fore the role of Portugal as an agent of transmission of European science to East Asia. It is an important contribution to understanding this fundamental period of scientific history, beginning with the arrival of Vasco da Gama in India in 1498 and ending with the expulsion of the Society of Jesus from Portugal in 1759. The former event opened a new era in relations between Europe and Asia, in particular regarding the circulation of scientific knowledge, leading to major social and intellectual changes in both continents. The Society of Jesus controlled education in Portugal and in the Empire. It was central to the network of knowledge transmission until the Society was expelled from Portugal in 1759.

      The proceedings have been selected for coverage in:

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings® (ISSHP® / ISI Proceedings)

      • Index to Social Sciences & Humanities Proceedings (ISSHP CDROM version / ISI Proceedings)


      The simple protractor is an ancient device. As an instrument used to construct and measure plane angles, the simple protractor looks like a semicircular disk marked with degrees, beginning with 0º to 180º.

      The first complex protractor was created for plotting the position of a boat on navigational charts. Called a three-arm protractor or station pointer, it was invented in 1801 by Joseph Huddart, a U.S. naval captain. The center arm is fixed, while the outer two are rotatable and capable of being set at any angle relative to the center one.


      Assista o vídeo: جامعة بابل كلية التربية الاساسية